Conoscienza - Master in Comunicazione delle Scienze - Università degli Studi di Padova
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Il caso e la necessità: la matematica del poker
di Gualtiero Pisent, 05/07/2008

Un recente film americano (Il film “21”, di Robert Luketic, con Kevin Spacey), ha riproposto il vecchio tema della coesistenza-competizione di fortuna e razionalizzazione nei giochi di carte, e in particolare nei giochi d'azzardo.

Un recente film americano (Il film “21”, di Robert Luketic, con Kevin Spacey), ha riproposto il vecchio tema della coesistenza-competizione di fortuna e razionalizzazione nei giochi di carte, e in particolare nei giochi d'azzardo. Le esigenze della narrazione cinematografica deformano di solito la natura di questo problema, presentando l'intervento della ragione sul caso come un intervento miracolistico che introduce in modo stupefacente elementi di totale certezza in un gioco totalmente casuale. Non è ovviamente così, ma il problema in sé riveste comunque grande dignità ed altissimo interesse, anche visto dal versante scientifico.

Le scienze naturali (che cercano di descrivere realisticamente il mondo), e in particolare le scienze fisico-matematiche (che cercano di dare a quella descrizione forma quantitativa), hanno capito da tempo che proposizioni del tipo “quell'evento in quelle condizioni ha il 37 percento di probabilità di verificarsi”, hanno la stessa dignità realistico-quantitativa di proposizioni del tipo “in quelle condizioni, a quell'istante, si verificherà certamente quell'evento”.

In questo senso un'analisi approfondita delle regole deterministiche di un gioco a carte, e dell'incidenza di queste regole su un retroscena del tutto casuale, può anche far luce su problemi di filosofia naturale logicamente simili, in cui si usa anche la statistica e non solo la meccanica, per avere previsioni su accadimenti futuri. È fra l'altro fondamentale capire il meccanismo per cui, da un lato le teorie statistiche acquistano affidabilità predittiva solo in un ambiente di moltissimi oggetti identici, e dall'altro lato l'introduzione di una “sapienza” scientifica nella dinamica di un gioco di carte, dà una certa speranza di vittoria solo su tempi sufficientemente lunghi per neutralizzare gli effetti distruttivi della casualità (e quindi in modo certamente non miracolistico).

Sulle ali di queste considerazioni, dedicherò questo articolo alla teoria matematica del poker. Per la verità il film che ho citato racconta una storia di blackjack, ma ritengo che il poker rappresenti un uguale e forse migliore banco di prova, per addentrarsi in questo tipo di problemi. Ho svolto a suo tempo (e non pubblicata) un'analisi completa delle probabilità nel poker. Cercherò di estrarre da questa analisi il massimo di informazioni che si possono dare in forma semplificata (omettendo ovviamente le dimostrazioni matematiche), e spero che queste informazioni, per quanto limitate, possano servire a orientare l'interesse del lettore su questo tipo di problemi.

Come è noto il poker americano si gioca con 52 carte, ma è diffuso in Italia un poker con il mazzo ridotto di 32 carte (conservando i valori dal 7 in su, più le figure e l'asso), che ha il vantaggio di rendere più probabili le configurazioni rare (come poker o colore) e di vivacizzare quindi il gioco. Ho svolto allora la teoria generale in funzione della variabile N (numero di carte del mazzo), il che fa guadagnare in generalità, e consente anche un'analisi più approfondita delle dinamiche.

Quando si fa la prima distribuzione di carte, il numero possibile di quintuple è 201.376 con il mazzo ridotto, e 2.598.960 con il mazzo completo. Per avere la probabilità a priori di una configurazione (per esempio poker), bisogna calcolare il numero di quintuple che contengono il poker, e fare poi il rapporto con il numero totale sopra riportato. Nella tabella seguente sono riportate le probabilità calcolate per i due casi limite (mazzo ridotto e mazzo completo).

Configurazione
Probabilità percentuale giocando con 32 carte
Probabilità percentuale giocando con 52 carte
Scala Reale
0,0099 0,0015
Poker 0,11 0,0024
Full 0,67 0,14
Colore 0,10 0,20
Scala 2,53 0,39
Tris 5,34 2,11
Doppia Coppia 12,01 4,75
Coppia 30,00 22,60

Qui e nel seguito i numeri delle tabelle rappresentano la probabilità percentuale di quell'evento. Per esempio il numero 0,11 in seconda riga, seconda colonna indica che la probabilità di avere poker servito (con un mazzo di 32 carte) è di circa 1 caso su 1000.

Tutte le probabilità sono crescenti con N, salvo quella di colore che è in controtendenza. Ne consegue il fatto ben noto che, mentre giocando con il mazzo completo (terza colonna) la graduatoria di valori insita nella tabella è perfettamente rispettata, giocando con il mazzo ridotto (seconda colonna) il colore diventa più pregiato del full, e addirittura (di poco) più pregiato del poker.

Andando avanti nell'analisi, si possono calcolare le probabilità a priori di tutto ciò che può succedere dopo il cambio carte. E questa seconda parte è molto più interessante della prima, perchè può suggerire le strategie. Supponiamo per esempio di partire dal tris servito e cambiare due carte, limitandoci da adesso in avanti al caso del mazzo completo. La tabella seguente mostra le probabilità che entri poker o full (e nell'ultima colonna è data anche la somma delle probabilità per i due eventi).

Configurazione
PokerFullPoker + Full
Probabilità
4,26 6,10 10,4

 
Una possibile strategia è quella di cambiare una sola carta per mascherare il tris. Allora l'ovvia domanda è: quanto si perde con questa operazione? La risposta è contenuta nella seguente tabella, che ha lo stesso significato di quella precedente, con l'unica variante che qui il giocatore cambia una sola carta.

Configurazione
Poker FullPoker + Full
Probabilità
2,13 6,39 8,5

Il confronto fra le due tabelle ci dà la risposta cercata: cambiando una sola carta anzichè due, si perde molto nella ricerca del poker (la probabilità si dimezza) ma nella ricerca del full c'è addirittura un piccolo guadagno. Questo risultato potrebbe sembrare strano, ma è importante osservare che sulla probabilità completa, che entri l'una o l'altra combinazione, c'è comunque una perdita, cambiando una carta anziché due.

Ovviamente la teoria contiene tutte le possibilità, e consente di orientarsi nei casi controversi. Supponiamo per esempio che la mano servita sia: K di cuori, K di quadri, Q di cuori, J di picche, 7 di cuori (con evidente significato per i simboli che indicano il valore della carta). Vediamo allora le probabilità aperte dalle scelte possibili, sempre con riferimento al mazzo completo.

1) Tengo uno dei K, il Q e il J, che formano un inizio di scala aperta bilaterale, e scarto le 2 carte rimanenti. La probabilità che entri la scala è 1,66 per cento.

2) Tengo i tre cuori per andare a caccia di colore, e scarto ancora 2 carte. La probabilità che entri colore è il 4,16 per cento. È maggiore della probabilità della scala, ma ricordiamoci che con il mazzo completo il colore è più facile.

3) Tengo la coppia di K e scarto 3 carte. In questo caso le attese sono molteplici, e precisamente: 16,0 per cento per la doppia coppia, 11,4 per il tris, 1,02 per il full, 0,28 per il poker, per una probabilità totale del 28,7 per cento che entri qualcosa.

Ovviamente questi sono solo esempi di ciò che si può fare con una teoria completa a disposizione. Da questa analisi, solo orientativa, si possono trarre però alcune considerazioni del tutto generali.

Anche avendo tutta la teoria a disposizione bisogna poi trarre le conclusioni operative che sono discrezionali, ed è comunque non banale ricordare le varie casistiche. In fondo la teoria non fa che formalizzare cose che sono probabilmente nella mente del giocatore provetto, suggerite dall'esperienza.

Ritengo però che lo studio accurato della teoria completa sia molto vantaggioso per tutti i confronti che suggerisce. In tutti i casi si parla sempre di probabilità che qualcosa accada, e mai di certezza che qualcosa accadrà. Sono quindi escluse applicazioni miracolistiche al gioco d'azzardo, ma è sicuro che l'approccio scientifico a qualcosa serve.

Ovviamente sono escluse da quest'analisi tutte le considerazioni di tipo psicologico che nel poker sono fondamentali. In altre parole, è bene che il giocatore provetto abbia una buona conoscenza della teoria matematica del gioco, ma questo non è certamente sufficiente per il successo. Così come il grande scultore, che deve sapere come si prende a martellate il marmo, non può certo accontentarsi di questo per creare l'opera d'arte.

Gualtiero Pisent dell'Istituto Nazionale di Fisica Nucleare è docente del Master in comunicazione delle scienze.

Il film.
“21” è un film di Robert Luketic, uscito nelle sale italiane nella primavera 2008. Con Jim Sturgess, Kate Bosworth, Laurence Fishburne, Kevin Spacey. Produzione USA 2008.
Ispirato ad una storia vera, “21” racconta la vicenda di Ben Campbell, brillante ma squattrinato studente del Mit che decide di unirsi a un gruppo di studenti dotati con la passione per il Blackjack. Guidato dal professor Micky Rosa, il gruppo elabora un complesso sistema di conteggio delle carte da gioco che gli permette di sbancare i tavoli dei casinò di Las Vegas ogni weekend. Le fortune iniziali fanno montare la testa a Ben, che oserà fino a farsi notare dal responsabile della sicurezza di una delle sale.

 





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