Conoscienza - Master in Comunicazione delle Scienze - Università degli Studi di Padova
23/07/2009
I frattali

Immaginate di osservare una foglia di felce, un cristallo di neve, un cavolfiore o il tratto di una costa: vi troverete dinnanzi alla sorprendente scoperta che ciò che appare ai vostri occhi è formato da tante piccole unità uguali a se stesse che si ripetono centinaia, migliaia di volte per dare l’insieme. Ogni cristallo di neve è formato da tanti cristalli in miniatura che originano il tutto; ogni foglia di felce è formata da foglioline la cui struttura ripete quella della pianta; ogni fogliolina, a sua volta, è la riproduzione in piccolo della parte da cui deriva e così via.

Questi sono esempi in natura dei cosiddetti frattali: figure che presentano una struttura complessa, ma dettagliata ad ogni livello di ingrandimento. Ogni piccola parte, cioè, può essere vista come la riproduzione, su scala ridotta, dell’intera figura e, qualora si avesse la possibilità di osservare l’oggetto in questione ingrandendolo infinite volte, ci si imbatterebbe in dettagli sempre comunque di forma simile alla figura intera. Questa è una delle caratteristiche principali dei frattali, ed è definita auto-similarità.

Detta così la descrizione sembra quasi intuitiva, ma la teoria geometrica che ne sta alla base, ha conosciuto percorsi tortuosi prima di affermarsi. Siamo agli inizi degli anni ’50 e il matematico polacco Benoit Mandelbrot (Varsavia 1924), studiando l’andamento del prezzo del cotone sul mercato, si accorse che questo presentava una fluttuazione ciclica, a decorso simile, sia nel breve che nel lungo periodo. I dati a sua disposizione, riferiti a secoli di commerci, gli permisero di capire che le variazioni del prezzo presentavano una certa ricorsività.  Il grafico di tale fluttuazione era perciò simile, se il periodo di tempo preso in esame fosse stato di un mese, di un giorno o di anni; la figura risultante era sempre comunque caratterizzata da interruzioni, frammentazioni che non permettevano allo studioso di definirne “contorni” euclidei.

frattale1

Molti altri fenomeni imprevedibili, come l’andamento del mercato azionario o le piene dei fiumi, poi, osservate sotto questa chiave di lettura dallo stesso Mandelbrot, presentavano andamenti ciclici simili a quelli del prezzo del cotone. Il termine ciclico utilizzato da Mandelbrot si riferisce al fatto che ogni ciclo contiene in sé un altro ciclo, che a sua volta ne contiene altri e così via all’infinito, con la precisazione che ogni ciclo non si ripete del tutto uguale a quello da cui deriva.   Mandelbrot estese le sue osservazioni al mondo naturale, rendendosi conto che in realtà ben poche figure in natura sono descritte da curve perfette e regolari: la frammentarietà e la discontinuità sono dominanti nel mondo naturale, perciò la geometria euclidea gli parve sempre più insufficiente nel descrivere i “suoi” oggetti.

 “Perché la geometria viene spesso descritta come fredda e arida?Una delle ragioni sta nella sua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una linea di costa. Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le linee di costa non sono cerchi e la corteccia non è piana, e neppure la luce si propaga in linea retta” . (“The Fractal Geometry of Nature”. B.Mandelbrot).

Ma in quegli anni questa teoria non ebbe fortuna; le conclusioni proposte da Mandelbrot sembravano a dir poco sconclusionate e la mentalità ottimista degli anni Cinquanta non era certo aperta ad accogliere una teoria che prevedesse complessità, frammentarietà ed in qualche modo incontrollabilità.

Ci vollero una decina d’anni prima che la teoria dei frattali avesse riscontro, ma da quel momento nacque una vera e propria branca della matematica chiamata “geometria dei frattali”. A differenza della geometria euclidea, così rigida nel rappresentare il mondo visibile e così lontana dal poter raffigurare le forme reali, la geometria dei frattali riesce, a rappresentare i profili di una montagna o di una costa, le nuvole ed altri confini che la natura crea con le sue regole incurante del pensiero umano.

Il termine frattale deriva dal latino “fractus” che significa frammentato, spezzato, ed è stato coniato dallo stesso Mandelbrot nel 1975, mentre sfogliava il vocabolario di latino del figlio, nel tentativo di dare un nome agli oggetti “frammentati” dei suoi studi. La parola “frattali” definisce perciò una rappresentazione grafica composta di linee spezzate, dall’andamento apparentemente irregolare; strutture matematiche capaci di esprimere comportamenti variabili in spazi anche molto piccoli.

frattale2

 

Mandelbrot non fu il primo a scoprire ed osservare l’esistenza dei frattali: nel campo della matematica, prima di lui, Niels Fabian Helge Von Koch (1870-1924), matematico svedese, divenne famoso per la curva che porta il suo nome; Giuseppe Peano (1858-1932) matematico italiano, descrisse la curva di Peano; David Hilbert (1862-1943) matematico tedesco, descrisse il frattale di Hilbert; Waclaw Sierpinski (1882-1969) matematico polacco, studiò e descrisse i famosi triangolo e tappeto di Sierpinski; Gaston Maurice Julia (1893-1978) matematico algerino, descrisse gli insiemi di Julia.

(laura marcazzan - studentessa del master 2009)

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